Question

如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm^2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？

Answer 1

廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小

解析試題分析：解法1：設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.          ①
廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.
廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
當且僅當25a＝40b時等號成立，此時b=,代入①式得a=120，從而b=75.
即當a=120，b=75時,S取得最小值24500.
故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
解法2：設廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25
兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=
廣告的面積S=xy=x()＝x,
整理得S=
因為x－20＞0，所以S≥2
當且僅當時等號成立，
此時有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，
即當x=140，y＝175時，S取得最小值24500，
故當廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
考點：不等式求解最值
點評：解決的關鍵是利用函數的性質或者是均值不等式求解最值，關鍵是設好變量，表示廣告的面積，屬于基礎題。