Question

已知函數y＝f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，對于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且滿足f(2)＝1.

(1)求f(1)、f(4)的值；

(2)求滿足f(x)－f(x－3)>1的x的取值范圍．

Answer 1

解：(1)令x＝y＝1，則f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，而f(2)＝1.

∴f(4)＝2×1＝2.

(2)由f(x)－f(x－3)>1，得f(x)>f(x－3)＋1，

而f(x－3)＋1＝f(x－3)＋f(2)＝f(2(x－3))，

∴f(x)>f(2(x－3))．

∵函數y＝f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數．

∴解之得3<x<6.

∴x的取值范圍是(3,6)．