Question

【題目】已知函數=，其中a>0,且a≠1

(1)判斷的奇偶性，并證明你的結論;

(2)若關于的不等式≤||在[﹣1,1]上恒成立,求實數a的取值范圍

Answer 1

【答案】(1)偶函數 (2)

【解析】

（1）函數f（x）是定義域R上的偶函數，用定義法證明即可；（2）由f（x）是R上的偶函數，問題等價于f（x）≤x在[0，1]上恒成立；討論x=0和x≠0時，求出實數a的取值范圍．

（1）函數f（x）=x（﹣）是定義域R上的偶函數，

證明如下：任取x∈R，則f（﹣x）=﹣x（﹣）=x（﹣），

∴f（x）﹣f（﹣x）=x（﹣）﹣x（﹣）=x（﹣1）=0，

∴f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函數；

（2）由（1）知f（x）是R上的偶函數，∴不等式f（x）≤|x|在[﹣1，1]上恒成立，

等價于f（x）≤x在[0，1]上恒成立；顯然，當x=0時，上述不等式恒成立；

當x≠0時，上述不等式可轉化為﹣≤，∴ax≥在[0，1]上恒成立，

∴≤a＜1或a＞1，

∴求實數a的取值范圍是[，1）∪（1，+∞）．