Question

是否存在這樣的實數a，使函數f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在區間[-1，3]上與x軸恒有一個交點，且只有一個交點．若存在，求出范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：此題考查的是函數與方程的綜合應用類問題．在解答時，先結合存在性問題的特點先假設存在a符合題意，然后將問題轉化為函數零點存在性的問題結合二次函數的特點即可獲得問題的解答，注意驗證．

解答：解：若實數a滿足條件，則只需f（-1）•f（3）≤0即可．
f（-1）•f（3）=（1-3a+2+a-1）•（9+9a-6+a-1）=4（1-a）（5a+1）≤0．所以a≤-

1

5

或a≥1．
檢驗：（1）當f（-1）=0時，a=1．所以f（x）=x²+x．令f（x）=0，即x²+x=0．得x=0或x=-1．
方程在[-1，3]上有兩根，不合題意，
故a≠1．
（2）當f（3）=0時，a=-

1

5

，此時f（x）=x²-

13

5

x-

6

5

．令f（x）=0，即x²-

13

5

x-

6

5

=0，解之得x=-

2

5

或x=3．方程在[-1，3]上有兩根，不合題意，故a≠-

1

5

．
綜上所述：a的取值范圍為a＜-

1

5

或a＞1．

點評：此題考查的是函數與方程的綜合應用類問題．在解答的過程當中充分體現了函數與方程的思想、零點存在性知識以及結果驗證的技巧．值得同學們體會反思．