Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（2）設定義在D上的函數y=g（x）在點P（x0 ， y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當x≠x0時，若 ＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=g（x）的“轉點”．當a=8時，問函數y=f（x）是否存在“轉點”？若存在，求出“轉點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f′（x）=2x﹣3+ = ，

當f′（x）＞0時，0＜x＜ ，或x＞1，

當f′（x）＜0時， ＜x＜1，

∴f（x）在（0， ）和（1，+∞）遞增，在（ ，1）遞減；

∴x= 時，f（x）極大值=﹣ +ln ，

x=1時，f（x）極小值=﹣2

（2）解：a=8時，由y=f（x）在其圖象上一點P（x0，f（x0））處的切線方程，

得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0，

設F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0，

F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）

= （x﹣x0）（x﹣ ）；

當0＜x0＜2時，F（x）在（x0， ）上遞減，

∴x∈（x0， ）時，F（x）＜F（x0）=0，此時 ＜0，

x0＞2時，F（x）在（ ，x0）上遞減；

∴x∈（ ，x0）時，F（x）＞F（x0）=0，此時 ＜0，

∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“轉點”，

x0=2時，F′（x）= （x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函數；

x＞x0時，F（x）＞F（x0）=0，x＜x0時，F（x）＜F（x0）=0，

即點P（x0，f（x0））為“轉點”，

故函數y=f（x）存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標．

【解析】（1）將a=1代入函數表達式，求出導函數得到單調區間從而求出函數的極值；（2）a=8時，由y=f（x）在其圖象上一點P（x0 ， f（x0））處的切線方程，得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0 ， 設F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）= （x﹣x0）（x﹣ ）；分別討論當0＜x0＜2，x0=2，x0＞2時的情況，從而得出結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．