Question

已知函數(shù)f(x)=x+

m

x

過點P（1，5），
（1）求m值及函數(shù)f（x）的表達式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）把點p坐標代入解析式即可解得；
（2）定義證明單調(diào)性步驟：①取值；②左差；③變形；④判號；⑤結(jié)論．

解答：（1）解：由函數(shù)f(x)=x+

m

x

過點P（1，5），得1+m=5，
所以m=4，f(x)=x+

4

x

；
（2）證明：設(shè)2≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

．因為2≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂0，
f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解及單調(diào)性的判斷、證明，屬基礎(chǔ)題，難度不大．掌握相關(guān)基本方法是解決該類題目的基礎(chǔ)．