Question

設(shè)max{sinx，cosx}表示sinx與cosx中的較大者，若函數(shù)f（x）=max{sinx，cosx}，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+π（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值；②f（x）是周期函數(shù)；③f（x）的值域是[-1，1]；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時(shí)，f（x）＜0； ⑤f（x）以直線x=kπ+

π

4

(k∈Z)為對(duì)稱軸，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：作出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象，觀察函數(shù)的圖象，分別求解函數(shù)的周期，最值及取得最值的條件分別進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：作出正弦函數(shù)y=sinx與y=cosx在一個(gè)周期上的圖象如下圖，取函數(shù)的最大值，即為函數(shù)f（x）=max{sinx，cosx}，
觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

5

4

π（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值，故①不正確；
函數(shù)以2π為周期的周期函數(shù)，故②正確
觀察函數(shù)的圖象可得函數(shù)的最小值為-

2

2

，故③錯(cuò)誤
當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時(shí)，f（x）＜0，故④正確
f（x）的對(duì)稱軸為x=2kπ+

5π

4

(k∈Z)或x=2kπ+

9π

4

(k∈Z)，即x=kπ+

π

4

(k∈Z)，⑤正確
故正確的結(jié)論為：②④⑤
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了識(shí)別圖象的能力及由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是要由題中的定義找出函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象求解函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．