Question

【題目】在五邊形AEBCD中，，C，，，（如圖）.將△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，線段AB的中點為O(如圖）.

（1）求證：平面ABE⊥平面DOE；

（2）求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）45°

【解析】

（1）根據矩形的性質，求得，再由等腰三角形的性質，證得，由線面垂直的判定，可得AB⊥平面EOD，再由面面垂直的判定定理，即可證得平面ABE⊥平面EOD；

（2）由（1）以O為坐標原點，以OB，OD，OE所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面ECD和平面ABE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）由題意，O是線段AB的中點，則.

又，則四邊形OBCD為平行四邊形，又，則，

因，，則.

，則AB⊥平面EOD.

又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.

（2）由（1）易知OB，OD，OE兩兩垂直，以O為坐標原點，以OB，OD，OE所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

△EAB為等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，

則，取，

則O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），

E（0，0，1），則，，

設平面ECD的法向量為，

則有取 ，得平面ECD的一個法向量，

因OD⊥平面ABE.則平面ABE的一個法向量為，

設平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為θ，則

，

因為，所以，

故平面ECD與平面ABE所成的鏡二面角為45°.