Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a1=1+ 

2

，S3=9+3 

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和為S_n；
（2）設(shè)bn= 

Sn

n

（n∈N⁺），求證：數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）用a₁表示出S₂，進(jìn)而求得d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和可求．
（2）把（1）中s_n代入b_n，求得b_n，假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知b_q²=b_pb_r．把b_p，b_q，b_r代入求得(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0進(jìn)而推斷出

q2-pr=0 2q-p-r=0

求得p=r，與p≠r矛盾．進(jìn)而可知假設(shè)不成立．

解答：解：（1）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

，∴d=2，
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．
（2）由（Ⅰ）得bn=

Sn

n

=n+

2

．
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則b_q²=b_pb_r．
即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)．
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0，
∵p，q，r∈N^*，
∴

q2-pr=0 2q-p-r=0

，
∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，
∴p=r．
與p≠r矛盾．
所以數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運(yùn)算能力．