Question

已知函數f（x）（x∈R）的一段圖象如圖所示，f′（x）是函f（x）（數的導函數，且y=f（x+1）是奇函數，給出以下結論：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正確的是（　　）

A、①③

B、②

C、②③

D、①

Answer 1

分析：y=f（x+1）是奇函數，y=f（x+1）的圖象關于原點對稱y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱．f（1-x）+f（1+x）=0，故①正確，④不正確，根據函數的單調性和函數的值得到②③不正確．

解答：解：∵y=f（x+1）是奇函數，
∴y=f（x+1）的圖象關于原點對稱，
∴y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，故①正確，④不正確，
∵f′（x）是函f（x）的導函數．
函數的圖象是單調遞增的，
∴f′（x）恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正確，即②不正確，
f（x）（x-1）≥0不正確，
綜上可知只有①正確，
故選D．

點評：本題看出函數的奇偶性和函數的圖象即函數的導函數與單調性的關系，本題解題的關鍵是看出函數的對稱中心，本題是一個基礎題．