Question

如圖，在平面直角坐標系中．銳角α，β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（1）如果tan α=

3

4

，B點的橫坐標為

5

13

求cos（α+β）的值；
（2）若角α+β的終邊與單位圓交于C點，設角α，β，α+β的正弦線分別為MA，NB，PC，求證：線段MA，NB，PC能構成一個三角形；
（3）探究第（2）小題中的三角形的外接圓面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說
明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的定義可求sinα，cosα，再利用兩角和的余弦公式可求cos（α+β）
（2）要證明MA，NB，PC能構成一個三角形，只需證明兩邊之和大于第三邊即可
（3）設線段MA，NB，PC構成的三角形為△A′B′C′，利用余弦定理求出cosAA′，從而求出sinA′，再利用正弦定理求出三角形的外接圓的半徑，即可判斷

解答：解：（1）∵tanα=

3

4

且α為銳角
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

∵B點的橫坐標為

5

13

由三角函數的定義可知，cosβ=

5

13

，sinβ=

12

13

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

12

13

=

-16

65

證明：（2）由（1）可得MA=sinα=

3

5

，NB=sinβ=

12

13

，PC=sin（α+β）=

63

65

∵MA+NB＞PC，PC+NB＞MA，MA+PC＞NB
∴線段MA，NB，PC能構成一個三角形
（3）三角形的外接圓的面積是定值，證明如下：
設（2）中的三角形為△A′B′C′中，角A′，B′C′所對的邊長為sinα，sinβ，sin（α+β）
由余弦定理可得，cosA′=

sin2α+sin2β-sin2(α+β)

2sinsinβ

=

sin2α+sin2β-(sinαcosβ)2+(cosαcosβ)2

2sinααsinβ

-cosαcosβ
=

2sin2αsin2β-2sinαsinβcosαcosβ

2sinαsinβ

=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos（α+β）
∵α，β∈(0，

1

2

π)
∴α+β∈（0，π）
∴sinA‘=sin（α+β）
設外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得2R=

B’C‘

sinA’

=

sin(α+β)

sin(α+β)

=1
∴R=

1

2

∴外接圓的面積S=

π

4

點評：本題主要考查了三角函數的定義、和差角公式、正弦定理等知識在求解三角形中的應，解題中要注意公式的靈活應用