【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，求證：
對(duì)任意
成立.
【答案】（1）
； （2）見(jiàn)解析.
【解析】
（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，再求解切線方程；
（Ⅱ）通過(guò)求解
的最小值來(lái)比較大小.
（Ⅰ）因?yàn)?/span>
所以
當(dāng)
時(shí)，
所以
，而
曲線
在
處的切線方程為
化簡(jiǎn)得到
（Ⅱ）法一：
因?yàn)?/span>，令
得
當(dāng)
時(shí)，
，
，在區(qū)間
的變化情況如下表:
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| 0 |
| 0 |
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| 極大值 |
| 極小值 |
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所以在
上的最小值為
中較小的值，
而
，所以只需要證明
因?yàn)?/span>
，所以
設(shè)
，其中
，所以
令
，得
，
當(dāng)時(shí)，，
，
在區(qū)間的變化情況如下表:
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| 0 |
|
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| 極小值 |
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所以在上的最小值為
，而
注意到
，所以
，問(wèn)題得證
法二：
因?yàn)椤皩?duì)任意的，
”等價(jià)于“對(duì)任意的，
”
即“，
”，故只需證“，
”
設(shè)
，所以
設(shè)
，
令，得
當(dāng)時(shí)，，
，
在區(qū)間的變化情況如下表:
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| 0 |
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| 極小值 |
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所以 上的最小值為
，而
所以時(shí)，
，所以
在上單調(diào)遞增
所以
而
，所以
，問(wèn)題得證
法三：
“對(duì)任意的，
”等價(jià)于“在上的最小值大于
”
因?yàn)?/span>，令
得
當(dāng)時(shí)，，，在在上的變化情況如下表:
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| 0 |
| 0 |
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| 極大值 |
| 極小值 |
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所以在上的最小值為中較小的值，
而，所以只需要證明
因?yàn)?/span>，所以
注意到
和，所以
設(shè)
，其中
所以
當(dāng)時(shí)，
，所以單調(diào)遞增，所以
而
所以
，問(wèn)題得證
法四：
因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，
設(shè)
，其中
所以
所以，，的變化情況如下表:
