Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的增函數，且函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，如果實數m，n滿足不等式組

f(m2-6m+21)+f(n2-8n)＜0 m＞3

，那么m²+n²的取值范圍是（　　）

A．（3，7）

B．（13，49）

C．（9，25）

D．（9，49）

Answer 1

分析：利用條件可得出函數的奇偶性，進而再利用其單調性即可得出m、n的取值范圍，再畫出圖象，根據

m2+n2

表示的幾何意義即可求出其取值范圍．

解答：解：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，∴函數y=f（x）關于原點對稱，即為奇函數；
∴由f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0得f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=f（-n²+8n）
又∵函數y=f（x）是定義在R上的增函數，
∴m²-6m+21＜-n²+8n，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4．
∵實數m，n滿足不等式組

f(m2-6m+21)+f(n2-8n)＜0 m＞3

，即滿足

(m-3)2+(n-4)2＜4 m＞3

．
作出圖象，即圖中的陰影部分所表示的點．
∵

m2+n2

表示的是陰影部分的點到原點的距離，
∴|PM|＜

m2+n2

＜|OC|+r，
求出M（3，2）．
∴

32+22

＜

m2+n2

＜

32+42

+2
∴13＜m²+n²＜49．
故選B．

點評：由函數的奇偶性和單調性正確得出m、n的取值范圍及根據條件作出圖形是解題的關鍵．