Question

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長的3，側(cè)棱AA₁=D是CB延長線上一點(diǎn)，且BD=BC.

 （Ⅰ）求證：直線BC₁//平面AB₁D；

 （Ⅱ）求二面角B₁—AD—B的大小；

 （Ⅲ）求三棱錐C₁—ABB₁的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；         （Ⅱ）60°；          （Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）證明：CD//C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁， ∴ 四邊形BDB₁C₁是平行四邊形，

∴BC₁//DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，∴直線BC₁//平面AB₁D.

（Ⅱ）解：過B作BE⊥AD于E，連結(jié)EB₁，

∵B₁B⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD ，

∴∠B₁EB是二面角B₁—AD—B的平面角，

∵BD=BC=AB，

∴E是AD的中點(diǎn)，

在Rt△B₁BE中，

∴∠B₁EB=60°．

即二面角B₁—AD—B的大小為60°

（Ⅲ）解法一：過A作AF⊥BC于F，∵B₁B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF=  ∴

即三棱錐C₁—ABB₁的體積為

解法二：在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

即三棱錐C₁—ABB₁的體積為