Question

已知函數的定義域是，是的導函數，且在

內恒成立．

求函數的單調區間；

若，求的取值范圍；

(3)  設是的零點，，求證：.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) ;(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用求導的思路求解函數的單調區間，從分借助；（2）首先對求導，然后借助已知的不等式恒成立進行轉化為在內恒成立，進而采用構造函數的技巧，，通過求導研究其最大值，從而得到的取值范圍；（3）借助第一問結論，得到，然后通過變形和構造的思路去證明不等式成立.

試題解析：（1），∵在內恒成立

∴在內恒成立，

∴的單調區間為                                      4分

（2），∵在內恒成立

∴在內恒成立，即在內恒成立，

設，

，，，，

故函數在內單調遞增，在內單調遞減，

∴，∴                     8分

（3）∵是的零點，∴由（1），在內單調遞增，

∴當時，，即，

∴時，∵，∴，

且即

∴，

∴                                                   14分

考點：1.函數的單調性；（2）導數的應用；（3）不等式的證明.