Question

（1）證明：如果一個整數的平方是3的倍數，那么這個整數是3的倍數．
（2）證明：

3

是無理數
（3）1，

3

，2是否可能同時是一個等差數列中的三項？如可能，請求出公差的值；如不可能，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）通過整數設為：3k，3k+1，3k+2；k∈Z，利用平方后被3整除，推出結論．
（2）運用反證法證明．假設 

3

是有理數，那么存在兩個互質的正整數p，q，使得 

3

=

p

q

，那么可證p和q都是3的倍數，這與假設p，q互質矛盾，從而假設不成立，故結論成立．
（3）利用反證法證明，設出等差數列，利用等差數列任意兩項之間的關系，推出有理數等于無理式的矛盾結果，即可證明不可能是等差數列中的三項．

解答：證明：（1）因為所有整數可以設為：3k，3k+1，3k+2；k∈Z．
所以（3k）²=9k²，因為k∈Z，所以k²∈Z，9k²，被3整除．
（3k+1）²=9k²+6k+1因為k∈Z，所以9k²+6k+1∈Z，9k²+6k+1不能被3整除．
（3k+2）²=9k²+12K+4因為k∈Z，所以9k²+12K+4∈Z，9k²+12K+4不能被3整除．
所以如果一個整數的平方是3的倍數，那么這個整數是3的倍數．
（2）證明：假設

3

是有理數．
∵1＜

3

＜2，∴

3

不是整數，
那么存在兩個互質的正整數p，q，使得=

p

q

，
于是p=

3

q．
兩邊平方，得p²=3q²．
∵3q²是3的倍數，
∴p²是3的倍數，
又∵p是正整數，
∴p是3的倍數．
設p=3k（k為正整數），代入上式，得3q²=9k²，
∴q²=3k²，
同理q也是3的倍數，
這與前面假設p，q互質矛盾．
因此假設

3

是有理數不成立．
故

3

是無理數．
（3）反證法，假設1，

3

，2能是一個等差數列中的三項，
設等差數列的首項為a，公差d，1，

3

，2分別是等差數列的第m，n，k項，
則1=a+（n-1）d，①；

3

=a+（m-1）d，②；
2=a+（k-1）d，③；
②-①得

3

-1=（m-n）d，
③-①得1=（k-n）d，將上面兩式相除得

3 -1

1

=

m-n

k-n

這是不可能的，
因為上式右邊是有理數，但左邊卻是無理數．
所以1，

3

，2不可能是一個等差數列中的三項．

點評：本題考查了反證法．反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得．應用反證法證明的具體步驟是：①反設：作出與求證結論相反的假設； ②歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；③結論：說明反設成立，從而肯定原命題成立．反證法在初中教材大綱中不作要求，本題屬于競賽題型，有一定難度．