Question

已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。

（1）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；
（2）設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的方程。

Answer 1

解：（1）∵
∴，F（-1，0），l：x=-2
∵圓過點O、F
∴圓心M在直線上
設，則圓半徑
由，得
解得
∴所求圓的方程為。
（2）設直線AB的方程為
代入整理得
∵直線AB過橢圓的左焦點F
∴方程有兩個不等實根
記，中點
則

∵線段AB的中點N在直線上
∴
∴或
當直線AB與x軸垂直時，線段AB的中點F不在直線上
∴直線AB的方程是或。