Question

已知點（1，

1

3

）是函數f（x）a^x （a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足s_n-s_n-1=

sn

+

sn-1

（n≥2）．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}的通項c_n=b_n•(

1

3

)n，求數列{c_n}的n項和R_n；
（3）若數列{

1

bnbn+1

}前n項和為T_n，問T_n＞

1000

2013

的最小正整數n是多少？

Answer 1

分析：（1）由條件先求出f（x），再求出數列的前三項，由前三項成等比數列求出c的值，則通項可求，再由給出的等式s_n-s_n-1=

sn

+

sn-1

（n≥2）得到新的等差數列{

Sn

}，求出其通項后則可求數列{b_n}的通項公式；
（2）把（1）中求出的通項公式代入，運用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和R_n；
（3）先把數列{

1

bnbn+1

}列項相消求和然后直接代入不等式可求最小正整數n．

解答：解：（1）因為f（x）=a^x，且f（1）=

1

3

，所以a=

1

3

，所以f(x)=(

1

3

)x．
所以a1=f(1)-c=

1

3

-c，a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

．
又數列{a_n}成等比數列，所以a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，所以c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，所以an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n  n∈N*，
所以Sn-Sn-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

  （n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，所以

Sn

-

Sn-1

=1，
數列{

Sn

}構成一個首相為1公差為1的等差數列，

Sn

=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2
當n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，又其滿足b₁=c=1，
所以b_n=2n-1；                             
（2）cn=bn(

1

3

)n=(2n-1)(

1

3

)n，
所以R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
所以Rn=1×(

1

3

)1+3×(

1

3

)2+5×(

1

3

)3+…+(2n-1)(

1

3

)n①
則

1

3

Rn=    1×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+5×(

1

3

)4+…+(2n-3)(

1

3

)n+(2n-1)(

1

3

)n+1②
①-②得：

2

3

Rn=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)4+…+(

1

3

)n]-(2n-1)×(

1

3

)n+1
化簡：

2

3

Rn=

1

3

+2[

( 1 3 )2(1-( 1 3 )n-1)

1- 1 3

]-(2n-1)×(

1

3

)n+1=

2

3

-

2(n+1)

3

×(

1

3

)n
所以所求Rn=1-

n+1

3n

；

（3）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由Tn=

n

2n+1

＞

1000

2013

，得n＞

1000

13

，所以滿足Tn＞

1000

2013

的最小正整數為77．

點評：本題考查了數列與不等式的綜合，考查了數列求和的錯位相減法和列項相消法，是高考數列部分的常見題型，屬中等以上難度問題．