Question

【題目】已知函數，（a，b∈R）為奇函數.

（1）求b值；

（2）當a=﹣2時，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求實數t的取值范圍；

（3）當a≥1時，求證：函數g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在區間（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）b=0；（2）t≥2；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據函數奇偶性的定義和性質建立方程關系即可得到結論；

（2）根據函數單調性和最值的關系進行求解即可；

（3）根據函數單調性的定義先判斷函數的單調性，利用函數單調性和函數零點之間的關系進行證明．

解：（1）函數為奇函數，

，即，

，即；

（2）當時，，

函數，在，均單調遞增，

函數在，單調遞增，

當，時，，

存在，使得不等式成立，

；

（3）證明：，

設，，

，

，，

，即，

，又，

，即，

函數在，單調遞減，

又，結合函數圖象知函數在，上至多有一個零點．