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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設函數(shù)

，
（1）確定函數(shù)f(x)的定義域；
（2）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；
（3）證明函數(shù)f(x)在其定義域上是單調增函數(shù)；
（4）求函數(shù)f(x)的反函數(shù)。

解：（1）由

，得x∈R，∴定義域為R。
（2）f(x)是奇函數(shù)；
（3）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則

，
令

，
則

∵x₁-x₂＜0，

，

，
∴t₁-t₂＜0，
∴0＜t₁＜t₂，∴

，
∴f(x₁)-f(x₂)＜lg1=0，
即f(x₁)＜f(x₂)，
∴函數(shù)f(x)在R上是單調增函數(shù)。
（4）反函數(shù)為

(x∈R)。

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由函數(shù)y=f（x）確定數(shù)列{a_n}，a_n=f（n），函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）能確定數(shù)列b_n，b_n=f^-1（n）若對于任意n∈N^*都有b_n=a_n，則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“自反函數(shù)列”
（1）設函數(shù)f（x）=

px+1

x+1

，若由函數(shù)f（x）確定的數(shù)列{a_n}的自反數(shù)列為{b_n}，求a_n；
（2）已知正整數(shù)列{c_n}的前項和s_n=

（c_n+

）．寫出S_n表達式，并證明你的結論；
（3）在（1）和（2）的條件下，d₁=2，當n≥2時，設d_n=

-1

anSn2

，D_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，且D_n＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范圍．

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