Question

【題目】已知正整數，設長方形的邊長，，邊、、上的點，…，，，…，，，，，…，分別滿足，， ．

（1）對于，2，…，，求與、與的交點所在的二次曲線的方程；

（2）若的延長線上的點，，…，滿足，對于，2，…，，求與的交點所在的二次曲線的方程；

（3）設在二次曲線上到的距離最大的點為，求與二次曲線上的點的距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）以下底為軸、的中垂線為軸建立平面直角坐標系．

設、交于點，、在上的投影分別為、，并設．

由∽，∽，

有，．

兩式相乘得點滿足的二次曲線的方程為．

（2）同理，、的交點也在橢圓上．

設、交于點，、在直線上的投影分別為、，并設．

由∽，∽，

有，．

兩式相乘得點滿足的二次曲線的方程為．

（3）不妨設．

考慮以為圓心、為半徑的圓，與相切時的半徑即為所求的最小值．

設的方程為，與的方程聯立并消去，得

．

由，得．

因此，所求最小值為．