Question

已知函數．已知函數有兩個零點，且．
（1）求的取值范圍；
（2）證明隨著的減小而增大；
（3）證明隨著的減小而增大．

Answer 1

（1）的取值范圍是；（2）詳見試題分析；（3）詳見試題分析．

試題分析：（1）先求函數的導數，再分和討論的單調性，將“函數有兩個零點”等價轉化為如下條件同時成立：“1°；2°存在，滿足；3°存在，滿足”，解相應的不等式即可求得的取值范圍；（2）由分離出參數：．利用導數討論的單調性即可得： ，從而；類似可得．又由，得，最終證得隨著的減小而增大；（3）由，，可得，，作差得．設，則，且解得，，可求得，構造函數，利用導數來證明隨著的減小而增大．
（1）由，可得．下面分兩種情況討論：
（1）時，在上恒成立，可得在上單調遞增，不合題意．
（2）時，由，得．當變化時，，的變化情況如下表：

	＋	0	－
	↗		↘

 
這時，的單調遞增區間是；單調遞減區間是A．
于是，“函數有兩個零點”等價于如下條件同時成立：
1°；2°存在，滿足；3°存在，滿足．由，即，解得，而此時，取，滿足，且；取，滿足，且．∴的取值范圍是．
（2）由，有．設，由，知在上單調遞增，在上單調遞減． 并且，當時，；當時，．
由已知，滿足，． 由，及的單調性，可得，．對于任意的，設，，其中，其中．∵在上單調遞增，故由，即，可得；類似可得．又由，得．∴隨著的減小而增大．
（3）由，，可得，，故．設，則，且解得，．
∴．   ①
令，，則．令，得．當時，．因此，在上單調遞增，故對于任意的，，由此可得，故在上單調遞增，因此，由①可得隨著的增大而增大，而由（2），隨著的減小而增大，∴隨著的減小而增大．