Question

【題目】已知點P為函數(shù)f（x）=lnx的圖象上任意一點，點Q為圓[x﹣（e+ ）]2+y2=1任意一點，則線段PQ的長度的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.e+ ﹣1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q（e+ ，0） 到函數(shù)f（x）=lnx圖象上一點的距離的最小值．
設f（x）圖象上一點（m，lnm），
由f（x）的導數(shù)為f′（x）= ，
即有切線的斜率為k= ，
可得 =﹣m，
即有l(wèi)nm+m2﹣（e+ ）m=0，
由g（x）=lnx+x2﹣（e+ ）x，可得g′（x）= +2x﹣（e+ ），
當2＜x＜3時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
又g（e）=lne+e2﹣（e+ ）e=0，
可得x=e處點（e，1）到點Q的距離最小，且為 ，
則線段PQ的長度的最小值為為 ﹣1，即 ．
故選：C．
由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q（e+ ，0）到函數(shù)f（x）=lnx圖象上一點的距離的最小值．設f（x）圖象上一點P（m，lnm），求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得lnm+m2﹣（e+ ）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+ ）x，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得零點e，運用兩點的距離公式計算即可得到所求值．