Question

已知函數f（t）=|t+1|-|t-3|．
（I）求f（t）＞2的解集；
（II）設a＞0，g（x）=ax²-2x-5．若對任意實數x，t，均有g（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）找出界點t=-1和t=3，分三種情況進行討論，將問題轉化為求解不等式問題；
（II）根據題意對任意實數x，t，均有g（x）≥f（t）恒成立，將問題轉化為g（x）的最小值大于等于f（t）的最大值即可；

解答：解：（I）由|t+1|-|t-3|＞2得，
（1）當t＜-1，時
可得-4＞2，t∈∅；
（2）當-1≤t≤3時，
2t-2＞2，解得{t|2＜t≤3}；
（3）當t＞3時，4＞2恒成立，
∴t＞2；
∴f（t）＞2的解集為{t|t＞2}；
（II）∵a＞0，g（x）=ax²-2x+5，g（x）≥f（t）恒成立，
可轉化為g_min（x）≥f_max（t）
g（x）=a（x-

1

a

）²+

5a-1

a

f（t）=|t-1|-|t-3|≤|t+1-t+3|=4，
∴

a＞0 5a-1 a ≥4

解得a≥1；

點評：此題考查絕對值不等式求解問題和函數的恒成立轉化問題，考查的知識點比較全面，是一道中檔題；