Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，點在線段上，且，現將沿折到的位置，連結，，如圖2.

（1）若點在線段上，且，證明：；

（2）記平面與平面的交線為.若二面角為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析，（2）

【解析】

（1）先在圖1中連結DP，根據tan∠PDC＝tan∠DAE得到∠DOE＝90°，從而有AE⊥OD，AE⊥OP，即在圖2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，即可證明AE⊥平面POD'，從而得到AE⊥PD'；

（2）延長AE，BC交于點Q，連接D'Q，根據公理3得到直線D'Q即為l，在平面POD'內過點O作底面垂線，以O為原點，分別為OA，OP，及所作垂線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解l與平面D'CE所成角的正弦值．

證明：（1）先在圖1中連結DP，在Rt△ADE中，由AD，DE，

得tan∠DAE，在Rt△PCD中，由DC＝AB，PC＝BC-BP，

得tan∠PDC，∴tan∠PDC＝tan∠DAE，則∠PDC＝∠DAE，

∴∠DOE＝90°，從而有AE⊥OD，AE⊥OP，

即在圖2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，

∴AE⊥平面POD'，則AE⊥PD'；

解：（2）延長AE，BC交于點Q，連接D'Q，根據公理3得到直線D'Q即為l，

再根據二面角定義得到．

在平面POD'內過點O作底面垂線，

以O為原點，分別為OA，OP，及所作垂線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

則D′（0，﹣1，），E（﹣1，0，0），Q（﹣11，0，0），C（﹣3，4，0），

（﹣11，1，），（﹣2，4，0），（1，﹣1，），

設平面D′EC的一個法向量為，

由，取y＝1，得．

∴l與平面D'CE所成角的正弦值為|cos|．