Question

已知函數f（x）=2^-x-1-3，x∈R，g(x)=

f(x-1)+2，-1＜x≤0 g(x-1)+k，x＞0

，有下列說法：
①不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1-log₂3）；
②若關于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有實數解，則m≥-16；
③當k=0時，若g（x）≤m有解，則m的取值范圍為[0，+∞）；若g（x）＜m恒成立，則m的取值范圍為[1，+∞）；
④若k=2，則函數h（x）=g（x）-2x在區間[0，n]（n∈N*）上有n+1個零點．
其中你認為正確的所有說法的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①由2^-x-1-3＞0，可得x＜-1-log₂3；
②令t=2^-x-1-3（t＞-3），關于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有實數解，等價于t²+8t-m=0有大于-3的解，由此可得結論；
③確定函數g（x）的函數的值域為[0，1），即可得到結論；
④若k=2，則函數h（x）=g（x）-2x在區間[0，1]上有2個零點0和1，在區間[0，n]（n∈N^*）上有n+1個零點，即為0，1，2…，n．

解答：解：①由2^-x-1-3＞0，可得x＜-1-log₂3，∴不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1-log₂3），∴①正確；
②令t=2^-x-1-3（t＞-3），∵關于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有實數解，∴t²+8t-m=0有大于-3的解，∴

△=64+4m＞0 (-3)2+8×(-3)-m＜0

，∴m＞-15，故②不正確；
③由題意，函數g（x）的函數的值域為[0，1），∴若g（x）≤m有解，則m的取值范圍為[0，+∞）；若g（x）＜m恒成立，則m的取值范圍為[1，+∞），即③正確；
④若k=2，則函數h（x）=g（x）-2x在區間[0，1]上有2個零點0和1，在區間[0，n]（n∈N^*）上有n+1個零點，即為0，1，2…，n，故正確
綜上，正確的所有說法的序號是①③④
故答案為：①③④

點評：本題考查命題真假的判定，考查函數與方程思想，考查學生防線解決問題的能力，屬于中檔題．