Question

（2008•襄陽模擬）在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足sinA：sinB：sinC=2：5：6．
（1）求cosB；
（2）若△ABC的面積為

3 39

4

，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）直接利用坐下來以及余弦定理直接求出cosB；
（2）利用同角三角函數的基本關系式求出sinB，通過△ABC的面積為

3 39

4

，求出三角形的三邊長，即可求△ABC的周長．

解答：（1）解：根據正弦定理及sinA：sinB：sinC=2：5：6可得a：b：c=2：5：6，（2分）
于是可設a=2k，b=5k，c=6k（k＞0），由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4k2+36k2-25k2

2(2k)(6k)

=

5

8

，即cosB=

5

8

．（5分）
（2）解：由（1）可知，sinB=

1-cos2B

=

39

8

，（7分）
由面積公式S△ABC=

1

2

acsinB可得

1

2

•(2k)•(6k)•

39

8

=

3 39

4

，
解得k=1，
故△ABC的周長=2k+5k+6k=13k=13．（12分）

點評：本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，考查計算能力．