Question

如圖，在平面直角坐標系中，邊長為a_n的一組正三角形A_nB_n-1B_n的底邊B_n-1B_n依次排列在x軸上（B₀與坐標原點重合）．設{a_n}是首項為a，公差為d的等差數列，若所有正三角形頂點A_n在第一象限，且均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則

a

d

的值為（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

  p
• D．

  3

  4

  p

Answer 1

分析：根據題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，利用正三角形的性質得出點A₁的坐標，又點A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則點A₁的坐標適合拋物線方程，得到p=

3

4

a；又{a_n}是首項為a，公差為d的等差數列，同理得到點A₂的坐標且點A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則有a=d，從而求出

a

d

的值．

解答：解：由題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，
∴點A₁的坐標為（

a

2

，

3 a

2

），
又∵點A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則(

3 a

2

)2=2p×

a

2

，
∴p=

3

4

a，
又{a_n}是首項為a，公差為d的等差數列，a₂=a+d，
即正三角形A₂B₁B₂的邊長為a+d，
∴點A₂的坐標為（a+

a+d

2

，

3

2

(a+d)），
又∵點A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則[

3 (a+d)

2

]2=2p（a+

a+d

2

），
化簡得（a-d）（2a+d）=0，∵2a+d＞0，
∴a=d，
則

a

d

的值為1．
故選A．

點評：本題主要考查數列與解析幾何綜合的知識點，本題是一道綜合性的習題，解答本題的關鍵是準確求出正三角形的坐標后代入拋物線方程得出變量之間的關系式．