Question

【題目】如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的大小；

（3）若線段上總存在一點，使得，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）設，連結，，通過證明為平行四邊形得，或者建立空間直角坐標系，利用向量證明平行；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量方法分別求出兩個半平面的法向量的夾角即可得到二面角的大小；

（3）根據向量的坐標表示，得恒有解即可求出的范圍.

解：（1）法一：設，連結，，

因為矩形中是線段的中點，是線段的中點，

所以，，所以為平行四邊形，

故，

又平面，平面，

所以平面；

法二：由題意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，

因為平面平面，

，所以平面，

以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

因為，，是線段的中點，

則，，，，，，

從而，，，，

設平面的法向量為，則由，可知，

不妨令，則，，從而平面的一個法向量為，

計算可知，又平面，

所以，從而平面.

（2）若，則，，

平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，則由，可知，

不妨令，則，，

從而平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，

因為為銳角，所以，

所以二面角的大小為.

（3）因為點在線段上，而，

設，其中，

則，從而點坐標為，

于是，而，

則由可知，即，

所以，解得，故的最大值為.