Question

【題目】已知函數f（x）=lg的圖象關于原點對稱，其中a為常數．

（Ⅰ）求a的值，并求出f（x）的定義域

（Ⅱ）關于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[，]有實數解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=-1，定義域（-∞，-1）∪（1，+∞）（Ⅱ）a∈[0，lg7]．

【解析】

（Ⅰ）根據奇函數的定義即可求出a的值，根據對數函數的解析式，即可求出函數的定義域，

（Ⅱ）關于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[]有實數解，轉化為lg（22x-1）=a在x∈[]有實數解，根據函數的單調性，求出y=lg（22x-1）的值域即可求出a的范圍

（Ⅰ）∵函數f（x）=lg的圖象關于原點對稱，

∴函數f（x）=lg為奇函數，即f（-x）+f（x）=0，

∴，且a≠1

∴lg=0，

∴=1，

整理可得，（a2-1）x2=0恒成立，

∴a=1（舍）或a=-1，f（x）=lg，

由＞可得，x＜-1或x＞1，

即函數的定義域（-∞，-1）∪（1，+∞），

（Ⅱ）設2x=t，則t∈[，2]，

∵關于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[，]有實數解，

∴lg+21g（2x-1）=lg（2x+1）（2x-1）=lg（22x-1）=a在x∈[，]有實數解，

設u=22x-1，則u（x）為增函數，y=lgu為增函數，

∴y=lg（22x-1）在[，]上為增函數，

∴0≤y≤lg7，

∴a∈[0，lg7]．