Question

【題目】設函數f（x）=2ax﹣ +lnx，若f（x）在x=1，x= 處取得極值， （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[ ，2]上的單調區間
（Ⅲ）在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，求c的最小值．
（參考數據：e2≈7.389，e3≈20.08）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=2ax﹣ +lnx， ∴f′（x）=2a﹣ + ，x＞0，
∵若f（x）在x=1，x= 處取得極值，
∴f′（1）=0，f′（ ）=0，即2a﹣b+1=0，2a﹣4b+2=0，
解得a=﹣ ，b= ；
（Ⅱ）f′（x）= ，x＞0，
∵f′（x）= ＞0，
∴ ，
∵f′（x）= ＜0， ＜x＜2
∴ ＜x ，1＜x＜2，
∴單調遞增區間（ ，1），遞減區間（ ， ），（1，2）；
（Ⅲ）f（x）=﹣ x- +lnx，
f（ ）=﹣ ﹣ln2，f（2）=﹣ +ln2，f（ ）=﹣1﹣ln2
f（1）=﹣1，
f（x）在[ ，2]上的最大值為：﹣ +ln2，
最小值為：﹣1﹣ln2
∵在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，
∴c≥f（x）min ， c≥﹣1﹣ln2
c的最小值為：﹣1﹣ln2
【解析】（Ⅰ）利用存在極值的條件得出f′（1）=0，f′（ ）=0，求解．（Ⅱ）利用導數與單調性的關系f′（x）= ＞0，f′（x）= ＜0， ＜x＜2求解得出區間，（Ⅲ）利用導數求解最大值，最小值，根據在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，c≥f（x）min ， 求解即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．