Question

已知函數f(x)=

ax2+2x+1 ， x≥0  -x2+bx+c ， x＜0

是偶函數，直線y=t與函數f（x）的圖象自左至右依次交于四個不同點A、B、C、D，若|AB|=|BC|，則實數t的值為

 

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）是偶函數，得到a，b，c的值，然后根據二次函數的圖象的對稱性，解出A，B，C，D的坐標，利用|AB|=|BC|，即可求出實數t的值．

解答：解：∵函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
當x＜0時，-x＞0，
即f（-x）=ax²-2x+1=-x²+bx+c，
∴a=-1，b=-2，c=1，
即f（x）=

-x2+2x+1，x≥0 -x2-2x+1，x＜0

，
作出函數f（x）的圖象如圖：
直線y=t與函數f（x）的圖象自左至右依次交于四個不同點A、B、C、D，
不妨是對應的橫坐標分別為a，b，c，d，
則A，B關于x=-1對稱，即

a+b

2

=-1，①
∵函數是偶函數，∴c=-b，d=-a，
若|AB|=|BC|，
則B是A，B的中點，
∴

a+c

2

=

a-b

2

=b，②，
解得a=3b，代入①
解得b=-

1

2

，a=-

3

2

，
當b=-

1

2

，時f（b）=f（-

1

2

）=-（-

1

2

）²-2（-

1

2

）+1=2-

1

4

=

7

4

，
即t=

7

4

，
故答案為：

7

4

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及二次函數的圖象和性質，利用數形結合是解決本題的關鍵，考查中點坐標公式，綜合性較強．