Question

已知f（x）是定義在R上的函數，f（1）=10，且對于任意x∈R都有f（x+20）≥f（x）+20，f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）-x+1，則g（10）=

10

．

Answer 1

分析：解決此題關鍵是要分析出f（x）或g（x）的性質，根據f（x+20）≥f（x）+20，f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）+1-x，不難得到g（x）是一個周期函數，且周期T=1，則只要根據f（1）=10，g（x）=f（x）+1-x求出g（1）就不難求出g（x）的其它函數值．

解答：解：由g（x）=f（x）+1-x知f（x）=g（x）+x-1，從而有
g（x+20）+（x+20）-1≥f（x+20）≥f（x）+20=g（x）+x-1+20
則g（x+20）≥g（x）
又由f（x+1）≤f（x）+1得g（x+1）+（x+1）-1≤g（x）+x-1+1⇒g（x+1）≤g（x）
則有：g（x）≤g（x+20）≤g（x+19）≤…≤g（x+1）≤g（x）
得g（x）=g（x+1），即g（x）是周期為1的周期函數，
又∵g（1）=f（1）+1-1=10
∴g（10）=10
故答案為 10

點評：對于抽象函數問題的處理，有兩種思路，一是“湊”出題目中要求的值，二是分析函數性質根據函數的性質解題．若題干中出現：f（x+y）=f（x）•f（y）；f（x+y）=f（x）+f（y）；f（x•y）=f（x）•f（y）；f（x•y）=f（x）+f（y）類的條件時一般采用第一種思路，而本題中未出現這種情況，一般要采用第二種思路．