Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中點，則下列結論正確的是

①②③

（填序號）
①線段A₁M與B₁C所在直線為異面直線；
②對角線BD₁⊥平面AB₁C；
③平面AMC⊥平面AB₁C；
④直線A₁M∥平面AB₁C．

Answer 1

分析：由線段A₁M所在平面AD₁A₁與B₁C所在平面BCC₁B₁互相平行，且直線A₁M與B₁C不平行，知線段A₁M與B₁C所在直線為異面直線；設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠得到對角線BD₁⊥平面AB₁C，平面AMC⊥平面AB₁C，直線A₁M與平面AB₁C不平行．

解答：解：∵線段A₁M所在平面AD₁A₁與B₁C所在平面BCC₁B₁互相平行，
且直線A₁M與B₁C不平行，
∴線段A₁M與B₁C所在直線為異面直線，
故①正確；
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），M（0，0，1），D₁（0，0，2），
∴

AB1

=(0，2，2)，

AC

=(-2，2，0)，

BD1

=(-2，-2，2)，

AM

=(-2，0，1)，
∴

BD1

•

AB1

=0-4+4=0，

BD1

•

AC

=4-4+0=0，
∴

BD1

⊥

AB1

，

BD1

⊥

AC

，
∴BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
∴對角線BD₁⊥平面AB₁C，
故②正確；
設平面AMC的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），則

m

•

AM

=0，

m

•

AC

=0，
∴

-2x1+z1=0 -2x1+2y1=0

，∴

m

=（1，1，2），
設平面AB₁C的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），則

n

•

AB1

=0，

n

•

AC

=0，
∴

2y2+2z2=0 -2x2+2y2=0

，∴

n

=（1，1，-1），
∵

m

•

n

=1+1-2=0，
∴平面AMC⊥平面AB₁C，
故③正確；
∵A₁（2，0，2），M（0，0，1），
∴

A1M

=(-2，0，-1)，
∵

A1M

•

n

=-2+0+1=-1≠0，
∴直線A₁M與平面AB₁C不平行，
故④不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查異面直線的判斷，直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面平行的判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．