Question

若(

x

-

2

x

)n的展開式中第三項是常數項，則n=

6

，展開式中各項的系數和為

1

．

Answer 1

分析：根據二項式定理，易得(

x

-

2

x

)n的通項，由題意，第三項是常數項，則有r=2時，T₃為常數項，可得

n-6

2

=0，解可得n的值，進而可得二項式為（

x

-

2

x

）⁶，令x=1可得展開式中各項的系數和．

解答：解：根據題意，(

x

-

2

x

)n的通項為T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r•（-

2

x

）^r=（-1）^r•C_n^r（2）^r•（x

n-3r

2

）
由題意，第三項是常數項，則有r=2時，T₃=（-1）²•C_n²（2）²•（x

n-6

2

）=4C_n²•（x

n-6

2

），為常數項，
即

n-6

2

=0，解可得n=6；
則該二項式為（

x

-

2

x

）⁶，令x=1可得，可得（1-

2

1

）⁶=1，
則其展開式中各項的系數和為1．
故答案為：6；1．

點評：本題考查二項式定理的應用與二項式系數的性質，解此類題目要注意區分展開式中各項的系數和與二項式系數和．