Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數，
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若f(1)=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質知道f（0）=0，即可得答案．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，再根據f（x）的單調性求出不等式的解集．
（3）由f(1)=

3

2

課求出a的值，進而求出函數g（x）的解析式．再根據g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求出m的值

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（0）=0，∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，∴a＞1，
又f'（x）=a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＞0
∴f（x）在R上單調遞增，
原不等式可化為：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集為{x|x＞1或x＜-4}
（3）∵f(1)=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x，
∵x≥1，∴t≥f(1)=

3

2

，
∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
當m≥

3

2

時，當t=m時，g（x）_min=2-m²=-2，
∴m=2，
當m＜

3

2

時，當t=

3

2

時，g(x)min=

17

4

-3m=-2，m=

25

12

＞

3

2

，舍去，
∴m=2．

點評：本題主要考查函數奇偶性的問題，這里要求會根據單調性進行解不等式．