Question

（本小題滿分12分）
已知函數為自然對數的底數）.
當時,求的單調區間;若函數在上無零點,求最小值;
若對任意給定的,在上總存在兩個不同的),使成立,求的取值范圍.

Answer 1

(1) 的單調遞減區間為(0,2),單調遞增區間為(2,).
(2) 的最小值為.
(3) 時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的），使得成立。

試題分析：解：（I）當時,,則.由得;由得.故的單調遞減區間為(0,2),單調遞增區間為(2,).
(II)因為在區間上恒成立是不可能的,故要使函數在上無零點,只要對任意,恒成立.即對,恒成立.令，，則，再令，，則。故在為減函數，于是，從而，于是在上為增函數，所以，故要使恒成立，只要.綜上可知，若函數在上無零點，則的最小值為
.
（III），所以在上遞增，在上遞減.又
，，所以函數在上的值域為.當時，不合題意；當時，， 。
當時，，由題意知，在上不單調，故，即。此時，當變化時，，的變化情況如下：

	—	0	+
	↘	最小值	↗

又因為當時，，，，所以，對任意給定的，在上總存在兩個不同的），使得成立，當且僅當滿足下列條件：
，令，，則，故當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，所以，對任意的，有，即(2)對任意恒成立，則(3)式解得(4)。綜合(1)、(4)可知，當時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的），使得成立。
點評：解決該試題的關鍵是能利用函數的導數符號判定其單調性，以及根據函數的單調性得到最值，同時能結合函數與方程的知識求解根的問題，屬于中檔題。