Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、．曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，證明：；
（3）設(shè)與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求的取值范圍．

Answer 1

（1） 依題意可得，．
設(shè)雙曲線的方程為，
因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即．
所以雙曲線的方程為．
（2）證法1：設(shè)點(diǎn)、（，，），直線的斜率為（），
則直線的方程為，
聯(lián)立方程組 
整理，得，
解得或．所以．
同理可得，．
所以．
證法2：設(shè)點(diǎn)、（，，），
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210048269537.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別在雙曲線和橢圓上，所以，．
即，．
所以，即．
所以．
證法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，
聯(lián)立方程組 
整理，得，
解得或．
將代入，得，即．
所以．
（3）解：設(shè)點(diǎn)、（，，），
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210049251632.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210049485962.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
由（2）知，，即．
設(shè)，則，
．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210050390559.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以當(dāng)，即時(shí)，．
當(dāng)，即時(shí)，．
所以的取值范圍為．

略