Question

已知命題q：只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0；命題P：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，若命題“p或q”是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題q，p為真命題的等價條件，然后利用復合命題“p或q”是假命題，確定實數a的取值范圍．

解答：解：命題q中，若只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，則對應方程x²+2ax+2a=0的判別式△=0，
即4a²-4×2a=0，解得a=0或a=2．
即q：a=0或a=2，￢q：a≠0且a≠2．
命題p中，若a=0，則方程a²x²+ax-2=0等價為-2=0，此時方程無解，所以a≠0．
當a≠0時，方程a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0，則方程的根為x=

1

a

或x=-

2

a

．要使方程在[-1，1]上有解，則x=-

2

a

∈[-1，1]，必有x=

1

a

∈[-1，1]，解得a≥1或a≤-1．
即p：≥1或a≤-1，￢p：-1＜a＜1．
若命題“p或q”是假命題，則p，q同時為假，
即

a≠0且a≠2 -1＜a＜1

，即-1＜a＜0或0＜a＜1．
所以實數a的取值范圍-1＜a＜0或0＜a＜1．

點評：本題的考點利用復合命題的真假來判斷參數的取值范圍，先將命題條件進行等價化簡，然后根據復合命題的真假關系進行確定．