Question

【題目】如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F．

（1）若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發，當乙出發1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；
（2）設∠CEF=θ，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且∠DEF= ，請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數，并求甲乙之間的最小距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，BD=300，BE=100，

△ABC中，cosB= ，B= ，

△BDE中，由余弦定理可得DE= =100 m；

（2）解：由題意，EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ．

△CEF中，CE=EFcos∠CEF=2ycosθ

△BDE中，由正弦定理可得 = ，

∴y= = ，0 ，

∴θ= ，ymin=50 m．

【解析】（1）先在△ABC中求出B，再在△BDE中利用余弦定理可得DE，從而可得此時甲乙兩人之間的距離；（2）先在△CEF中求出CE，再在△BDE中利用正弦定理可得甲乙之間的距離y表示為θ的函數，進而利用輔助角公式和三角函數的性質可得甲乙之間的最小距離．