Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．證明：直線平面.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

試題方法一，取OB的中點(diǎn)G，連接GN、GM。證明平面MNG∥平面OCD，從而可證得MN∥平面OCD。

方法二：取OD的中點(diǎn)P，連接MP、CP。可證得四邊形MNCP為平行四邊形，因此MN∥PC，由線面平行的判定定理可得MN∥平面OCD。

試題解析：

方法一：如圖，取OB的中點(diǎn)G，連接GN、GM。

∵M為OA的中點(diǎn)，

∴MG∥AB.

∵AB∥CD，

∴MG∥CD.

∵MG平面OCD，CD平面OCD，

∴MG∥平面OCD。

又G、N分別為OB、BC的中點(diǎn)，

∴GN∥OC。

∵GN平面OCD，OC平面OCD，

∴GN∥平面OCD。

又MG∩GN＝G，

∴平面MNG∥平面OCD。

∵MN平面MNG，

∴MN∥平面OCD。

方法二：如圖，取OD的中點(diǎn)P，連接MP、CP。

∵M為OA的中點(diǎn)，

∴且。

∵N為BC的中點(diǎn)，

∴且，

∴且，

∴四邊形MNCP為平行四邊形，

∴MN∥PC。

又∵MN平面OCD，PC平面OCD，

∴MN∥平面OCD.