Question

【題目】數列中，已知對任意都成立，數列的前項和為．（這里均為實數）

（1）若是等差數列，求的值；

（2）若，求；

（3）是否存在實數，使數列是公比不為的等比數列，且任意相鄰三項按某順序排列后成等差數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由，解得．（2）由題意可得，

．既兩項一并是常數列，所以分奇偶處理此問。（3）等差中項的三種情況分類討論可求解。

試題解析：（1）若是等差數列，則對任意，有，

即，故．

（2）當時， ，即， ，

故．

所以，當是偶數時， ；

當是奇數時， ， ．

綜上， （）．　

（3）若是等比數列 ，則公比，由題意，故， ， ．

若為等差中項，則，即 ，解得（舍去）；

若為等差中項，則，即 ，因，故解得， ， ；

若為等差中項，則，即，

因為，解得．

綜上，存在實數滿足題意， ．