Question

已知方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，則

a

b

的取值范圍

（-

3

2

，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結合對應二次函數(shù)性質得到

f(0)＞0 f(1)＜0 - 2+a 2 ＞0

，然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析

a

b

的幾何意義，然后數(shù)形結合即可得到結論．

解答：解：由程x²+（2+a）x+1+a+b=0的二次項系數(shù)為1＞0
故函數(shù)f（x）=x²+（2+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上
又∵方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂
則

f(0)＞0 f(1)＜0 - 2+a 2 ＞0

，即

1+a+b＞0 1+2+a+1+a+b＜0 a＜-2

即

1+a+b＞0 4+2a+b＜0 a＜-2

，
其對應的平面區(qū)域如下圖陰影示：

∵

a

b

=

a-0

b-0

表示陰影區(qū)域上一點A與原點連線的斜率，以及邊線4+2a+b=0的斜率之間．
由圖可知

a

b

∈（-

3

2

，-

1

2

）
故答案為：（-

3

2

，-

1

2

）．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，三個二次之間的關系，線性規(guī)劃的應用，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結合二次函數(shù)性質得到

f(0)＞0 f(1)＜0 - 2+a 2 ＞0

解答本題的關鍵．