Question

已知實數a≠0,函數f(x)=ax(x－2)²(x∈R)有極大值32,則實數a等于______.

Answer 1

27

本題考查函數的極值.可導函數極值點處的導數為0.
f(x)=ax(x²－4x＋4)=ax³－4ax²＋4ax,
∴f′(x)=3ax²－8ax＋4a=a(3x²－8x＋4)=a(3x－2)(x－2).
令f′(x)=0,得x₁=或x₂=2.
∴在x₁=或x₂=2處取得極值.把x=2代入驗證,極值為0,
因此函數在x=處取得極值32,即a××(－2)²=32.
解得a=27.