Question

設集合s為非空實數集，若數η（ξ）滿足：
（1）對?x∈S，有x≤η（x≥ξ），即η（ξ）是S的上界（下界）；
（2）對?a＜η（a＞ξ），?x_o∈S，使得x_o＞a（x_o＜a），即η（ξ）是S的最小（最大）上界（下界），則稱數η（ξ）為數集S的上（下）確界，記作η=supS（ξ=infS）．
給出如下命題：
①若 S={x|x²＜2}，則 supS=-；
②若S={x|x=n|，x∈N}，則infS=l；
③若A、B皆為非空有界數集，定義數集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，則sup（A+B）=supA+supB．
其中正確的命題的序號為________（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

解：①由x²＜2，得，∴，故①不正確；
②∵x∈N，∴infS=0，故②不正確；
③∵?x∈A，?y∈B，∴x≤supA，y≤supB，
∴z=x+y≤supA+supB，
∴sup（A+B）≤supA+supB；
同理supA+supB≤sup（A+B）；
故sup（A+B）=supA+supB．
故③正確．
故答案為③．
分析：①由上確界的定義可得supS=；
②由下確界的定義可得infS=0；
③利用上下確界的定義即可證明正確．
點評：正確理解新定義是解題的關鍵．