Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的“l(fā)高調(diào)函數(shù)”．現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=2^x為R上的“1高調(diào)函數(shù)”；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的“A高調(diào)函數(shù)”；
③如果定義域?yàn)閇-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上“m高調(diào)函數(shù)”，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）；
其中正確的命題是

①②③

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①函數(shù)f（x）=2^x為增函數(shù)，存在正實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），滿足高調(diào)函數(shù)定義；
②由正弦函數(shù)知函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：對(duì)于①，函數(shù)f（x+l）=2x+l，f（x）=2x，
要使f（x+l）≥f（x），需要2x+l≥2x恒成立，只需l≥0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函數(shù)f（x）=2x是R上的1（l≥0）高調(diào)函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)，故②正確；
對(duì)于③，∵如果定義域?yàn)閇1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，
只有[-1，1]上至少需要加2，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），故③正確，
綜上，正確的命題序號(hào)是①②③．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：此題屬于新定義的題型，涉及的知識(shí)有：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)，其中認(rèn)真審題，弄清新定義的本質(zhì)，找到判斷的標(biāo)準(zhǔn)是解本題的關(guān)鍵．屬于中檔題