Question

（本小題滿分14分）在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東 (其中，)且與點A相距10海里的位置C.
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;
（2）若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由

Answer 1

（I）海里/小時；（2）船會進入警戒水域

（1）先根據題意畫出簡圖確定AB、AC、∠BAC的值，根據sinθ=,求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，從而可得到船的行駛速度．
（2）先假設直線AE與BC的延長線相交于點Q，根據余弦定理求出cos∠ABC的值，進而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的長度，從而可確定Q在點A和點E之間，根據QE=AE-AQ求出QE的長度，然后過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離，進而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進行比較即可得到答案．
解:如圖，AB=40，AC=10，
 
                ………2分
由于,所以cos=   ………4分
由余弦定理得BC=……6分
所以船的行駛速度為（海里/小時）    ………7分
（II）解法一  如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，
設點B、C的坐標分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,
BC與x軸的交點為D.
由題設有，x₁=y₁= AB=40,      ………8分
x₂=ACcos,
y₂=ACsin         ………10分
所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.        ………11分
又點E（0，-55）到直線l的距離d=              ………13分
所以船會進入警戒水域.               ………14分

解法二: 如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于Q.
在△ABC中，由余弦定理得，

==.
從而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.
過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船會進入警戒水域.