Question

．(本小題滿分14分)已知函數（，是不同時為零的常數），其導函數為.

（1）當時，若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（2）求證：函數在內至少存在一個零點；

（3）若函數為奇函數，且在處的切線垂直于直線，關于的方程在上有且只有一個實數根，求實數的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）當時，，………１分

依題意　　即恒成立

，解得　

所以b的取值范圍是…………………………………４分

（2）證明：因為，

解法一：當時，符合題意. ……………………………５分

當時，，令，則，

令，， 當時，，

在內有零點；……………………………７分

當時，，

在內有零點.

當時，在內至少有一個零點.

綜上可知，函數在內至少有一個零點. ……………………………９分

解法二：，，

.

因為a，b不同時為零，所以，故結論成立.

（3）因為為奇函數，所以，所以，.

又在處的切線垂直于直線，所以，即.

……………………………………………………………………………………１０分

1

在，上是單調遞增函數，在上是單調遞減函數，由解得，，

法一:如圖所示，作與的圖像，若只有一個交點，則

①當時，，

 

x

y

即，解得；

-1

x

y

O

O

①

-1

t

②當時，，

解得；

②

③當時，顯示不成立；

-1

t

x

④

y

④當時，，

 

 

 

t

x

O

y

即，解得；

⑤當時，，

 

y

O

解得；

t

x

⑥當時，.

………………………………………………………………１３分

綜上t的取值范圍是或或.………………１４分

法二：由,.

作與的圖知交點橫坐標為，

當時，過圖象上任意一點向左作平行于軸的直線與都只有唯一交點，當取其它任何值時都有兩個或沒有交點。

所以當時，方程在上有且只有一個實數根.

 

【解析】略