Question

已知數列中，，，.
（1）證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）在數列中，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；
（3）若且，，求證：使得，，成等差數列的點列在某一直線上.

Answer 1

（1）詳見解析；（2），，成等差數列；（3）詳見解析.

試題分析：（1）證明一個數列為等比或等差數列，一般都是從定義入手，本小題首先需要將已知條件變形為，由于，則（常數），然后根據等比數列的定義可知數列是以為首項，公比為的等比數列，即（）；
（2）本小題首先假設在數列中存在連續三項，，（，）成等差數列，則，代入通項公式可得，即，，成等差數列.
（3）本小題首先根據，，成等差數列，則，于是可得，然后通過不定方程的分類討論可得結論
試題解析：（1）將已知條件變形為  1分
由于，則（常數）  3分
即數列是以為首項，公比為的等比數列  4分
所以，即（）。  5分
（2）假設在數列中存在連續三項成等差數列，
不妨設連續的三項依次為，，（，），
由題意得，，
將，，代入上式得  7分
      8分
化簡得，，即，得，解得
所以，存在滿足條件的連續三項為，，成等差數列。  10分
（3）若，，成等差數列，則
即，變形得  11分
由于若，且，下面對、進行討論：
① 若，均為偶數，則，解得，與矛盾，舍去；
② 若為奇數，為偶數，則，解得；
③ 若為偶數，為奇數，則，解得，與矛盾，舍去；
④ 若，均為奇數，則，解得，與矛盾，舍去；  15分
綜上①②③④可知，只有當為奇數，為偶數時，，，成等差數列，此時滿足條
件點列落在直線（其中為正奇數）上。  16分（不寫出直線方程扣1分）