Question

【題目】已知函數，

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）若對任意的，都有恒成立，求a的取值范圍；

（3）函數的圖像上是否存在兩點，且，使得直線AB的斜率k滿足：？若存在，求出與之間的關系；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3)不存在

【解析】

（1）求出切點和斜率，利用點斜式，可求出切線方程；

（2）分離參數，構造函數，通過求函數的最值，可求出a的取值范圍；

（3）見解析.

解：（1）由題意得，所以，

因為，所以，

所以所求切線方程為，即

（2）由，得，

即恒成立

因為，所以恒成立,

令，則,

令，則,

所以在上單調遞增，

所以，

所以，所以在上單調遞增，

由洛必達法則可知，

所以

（3）由題意知

,

因為，

所以

若，則

所以,

所以，

令，則，,

令，則，

所以在上單調遞增，

所以,

所以方程無解，所以函數的圖像上是不存在兩點，且，使得直線AB的斜率k滿足：.